Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, non nulle.
On considère l’endomorphisme {\varphi(M)=M+\text{tr}(AM)A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}.
Déterminer les éléments propres, la trace et le déterminant de {\varphi}.
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