Un développement asymptotique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit, pour tout {n\in\mathbb{N}^{\star}}, {f_{n}:x\mapsto x^{3n}-3nx+1}.

  1. Montrer que {f_{n}} admet une unique racine {x_n\gt 1}.
  2. Trouver {a} tel que {x_{n}=1+a\dfrac{\ln(n)}{{n}}+\text{o}\Big(\dfrac{\ln(n)}{n}\Big)}.
  3. Trouver {b} tel que {x_{n}=1+a\dfrac{\ln(n)}{{n}}+\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}.

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