Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E_{n}} l’équation différentielle :{(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}Soit {y_{n}} la solution de {E_n} telle que {\begin{cases}y_{n}(0)=0\\y_{n}'(0)=1\end{cases}}

  1. Déterminer {y_{n}} et montrer que la suite {(y_{n})} converge simplement sur {\mathbb{R}^{+}}.
  2. Montrer que, pour tout {x\lt 0}, on a : {0\leq e^{x}-1-x\leq x^{2}/2}.
  3. En déduire que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.

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