Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Soit {\displaystyle\sum a_nx^n} et {\displaystyle\sum b_nx^n} deux séries entières, avec {b_n\ge0}.

    On suppose que {\displaystyle\sum b_n} diverge, que {\displaystyle\sum b_n x^n} est de rayon {1}, et que {a_n\sim b_n}.
    Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n} est équivalente à {g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_n x^n} quand {x\to1}.

  2. Préciser le rayon de convergence de la série entière {f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}.
  3. Montrer que {f(x)\rightarrow +\infty } quand {x\rightarrow 1} et donner un équivalent de {f} en {1}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
  Pour voir ce contenu, vous devez :