Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (avec {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}.
    Calculer {e^{x}f(x)}. Préciser le rayon de {f}.
  2. En déduire {D_{n}} sous forme de somme.

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