Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}{n\ge2} et {\forall i,\,\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\!=\!1}
On note {\alpha} le plus petit coefficient de {A}.
On note {\min X,\max X} les coefficients extrémaux d’un vecteur {X}.

  1. Montrer que : {\forall\,Y\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}^+),\;\min(AY)\geq \alpha \max Y}
  2. Montrer que, pour tout {X} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})} : {\begin{cases}\min(AX)\!\geq\! \alpha \max X\!+\!(1\!-\!\alpha)\min X\\\max(AX)\!\leq\! \alpha \min X\!+\!(1\!-\!\alpha )\max X\end{cases}}Indication : considérer {Y=X-\min (X)U}{U} est un vecteur bien choisi.
  3. En déduire que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
    Préciser le rang de la matrice limite notée {A^*}

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