Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, avec {n\ge2}, telle que {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
On note {\alpha} le plus petit coefficient de {A}.
On note {\min(X),\max(X)} les coefficients extrémaux d’un vecteur {X}.

  1. Montrer que: {\forall\,Y\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}^+),\;\min(AY)\geq \alpha \max(Y)}
  2. Montrer que, pour tout {X} dans {\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})} : {\begin{cases}\min(AX)\geq \alpha \max(X)+(1-\alpha)\min(X)\\\max(AX)\leq \alpha \min(X)+(1-\alpha )\max(X)\end{cases}}Indication : considérer {Y=X-\min (X)U}{U} est un vecteur bien choisi.
  3. En déduire que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
    Préciser le rang de la matrice limite notée {A^*}.

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