Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que{\begin{cases}X_i(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\\\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}\end{cases}}

  1. Soit {S_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{i}}. Déterminer {\mathbb{P}(S_{n}=0)}.
  2. Pour {k\in\mathbb{N}}, soit {q_{k}=\mathbb{P}\Big(\displaystyle\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(S_{n}\geq k)\Big)}.
    Montrer que {q_{k}=\dfrac{1}{2}(q_{k-1}+q_{k+1})}.
    En déduire que {q_{k}=1} pour tout {k}.
  3. Soit {k\in\mathbb{Z}}. Que vaut {\mathbb{P}\Big(\displaystyle\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(S_{n}\leq k)\Big)} ?
  4. Montrer que presque sûrement la suite {(S_{n})} prend une infinité de fois la valeur {k}.

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