Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} une suite de v.a.r. indépendantes telles que :
{X_i(\Omega)=\{-1,1\},\;\mathbb{P}(X_{i}=1)=\mathbb{P}(X_{i}=-1)=\dfrac{1}{2}}

  1. Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}. Déterminer {\mathbb{P}(S_{n}=0)}.
  2. Pour {k\in\mathbb{N}}, soit {q_{k}=\mathbb{P}\Big(\displaystyle\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(S_{n}\geq k)\Big)}.
    Montrer que {q_{k}=\dfrac{1}{2}(q_{k-1}+q_{k+1})}. En déduire que {q_{k}=1} pour tout {k}.
  3. Soit {k\in\mathbb{Z}}. Que vaut {\mathbb{P}\Big(\displaystyle\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}^{*}}(S_{n}\leq k)\Big)} ?
  4. Montrer que presque sûrement la suite {(S_{n})} prend une infinité de fois la valeur {k}.

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