Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)

  1. Soit {\varphi:x\mapsto e^{-x^{2}}}. Montrer qu’il existe {P_{n}\in\mathbb{R}_{n}[X] } tel que {\varphi^{(n)}:x\mapsto P_{n}(x)e^{-x^{2}}}.
  2. Montrer que {(P_{n})} est orthogonale pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}
  3. Montrer que {P_{n}} admet {n} racines réelles distinctes.
  4. Prouver que {P'_{n}=-2nP_{n-1}}, et que les racines de {P_{n-1}} séparent celles de {P_{n}}.

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