Polynômes à valeurs positives

(Oral Centrale 2018)

  1. Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
  2. Exhiber {P\in\mathbb{R}[X]} à valeurs positives avec un coefficient strictement négatif.
  3. Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
    Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Étudier la réciproque.

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