Point fixe d’une fonction contractante

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un fermé de {E} (evn de dimension finie).
Soit {f:A\rightarrow A}, {k}-lipschitzienne avec {0\le k\lt 1}.

  1. Montrer que {f} admet au plus un point fixe.
  2. Soit {u_{0}\in A}, et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_{n})}.
    Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\parallel u_{n+1}-u_{n}\parallel} converge.
  3. En déduire que la suite {(u_{n})_{n\ge0}} converge. Soit {\ell} sa limite.
  4. Montrer que {\ell \in A} et que {f(\ell )=\ell}.
    En déduire que {f} admet un unique point fixe.

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