Norme sur fonctions lipschitziennes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes de {[0,1]} dans {\mathbb{R}}. Pour tout {f\in E}, on note {K(f)} la borne inférieure de l’ensemble des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.

  1. Montrer que {E} est un espace vectoriel.
  2. Montrer que si {f\in E}, alors {f} est {K(f)}-lipschitzienne.
  3. Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme sur {E}.
  4. Comparer {\|\;\|_{\infty}} et {N}.

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