Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\in\mathbb{N}^{\star}}.
On note {a_{1},\ldots,a_{p}} les valeurs propres distinctes de {A}.
On note {m_{1} ,\ldots,m_{p}} leurs multiplicités respectives.

    • Soit {G=\{Q\in\mathbb{C}[X],\;m_{1}Q(a_{1})+\cdots+m_{p}Q(a_{p})=0\}}.
      Montrer que {G=\{Q\in\mathbb{C}[X],Q(0)=0\}}.
    • En déduire que {\mathrm{Sp}(A)=\{0\}} puis que {A} est nilpotente.
  1. On considère la série entière de terme général {\mathrm{tr}(A^{k})z^{k}}.
    Exprimer son rayon à l’aide des valeurs propres de {A}.
    Retrouver le résultat de la première question.

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