Matrice et inégalité “à la Bessel”

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que, pour tout

{X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\;\|AX\|\leq \|X\|}

.

Soit ${Y=A^{T}X}$ . Montrer : ${(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}}$ et ${\|Y\|\leq\|X\|}$ .
Montrer que si ${AX=X}$ alors ${A^{T}X=X}$ .

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