Matrice et inégalité “à la Bessel”

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que, pour tout {X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\;\|AX\|\leq \|X\|}.

  1. Soit {Y=A^{T}X}. Montrer : {(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}} et {\|Y\|\leq\|X\|}.
  2. Montrer que si {AX=X} alors {A^{T}X=X}.

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