L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
On définit les fonctions {f:x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-tx}}{1+t^{2}}\,\text{d}t}
et {g:x\mapsto \cos(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t-\sin(x)\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}\,\text{d}t}.

  1. Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{{\sin t}}{t}\,\text{d}t} et {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}} convergent.
  2. Montrer que {f,g} sont solutions de {y''+y=\dfrac{1}{x}}.
    En déduire {f=g} puis la valeur de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}.

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