L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-tx}}{1+t^{2}}\text{d}t}, et :{g(x)=\cos x\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}-\sin x\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}}

  1. Convergence de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\dfrac{{\sin t}}{t}} et {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\dfrac{\cos t}{t}}.
  2. Montrer que {f\;\text{et}\;g} vérifient {y''+y=\dfrac{1}{x}}.
    En déduire {f=g} puis {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}.

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