Le plus petit numéro tiré

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Soit {X} une v.a.r à valeurs dans {\mathbb{N}} ayant une espérance.
    Montrer que {E(X)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(X>k)}.
  2. Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on tire {n} avec remise.
    On note {X_{N}} la variable donnant le plus petit numéro tiré.
    Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent quand {N\to+\infty}.
  3. Montrer {E(X_N^2)=\displaystyle\sum_{k=0}^{N}(2k+1)\mathbb{P}(X_N>k)}.
    Donner un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.

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