Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel euclidien.
Soit {S^+(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}.

  1. Montrer que, pour tout {u\in S(E)}, {E=\text{Ker}(u)\oplus\text{Im}\,u}.
  2. Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer qu’il existe {v\in S^{+}(E)} tel que {u=v^{2}}.
  3. Soit {u,v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\begin{cases}\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)\\\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)\end{cases}}

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