Familles obtusangles

(Oral Centrale 2018)
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.

  1. Trouver une telle famille lorsque {n=2} et {p=3}.
  2. On pose {x=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{p}x_{k}e_{k}} et {y=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{p}|x_{k}|e_{k}}. Montrer que {\|y\|\leq \|x\|}.
  3. Montrer que la famille {(e_k)_{1\le k\lt p}} est libre. Conséquence?

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