Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)

  1. Déterminer {M\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})} dont le spectre est exatement {\{1,j,j^2\}}.
    Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}} et soit {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
  2. On suppose dans cette question que {1} n’est pas valeur propre de {A}.

    • Montrer que {n} est pair. Exprimer {A^{2}} à l’aide de {A} et {I_{n}}.
    • Résoudre l’équation {Ax=x-b} d’inconnue {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
  3. On suppose que {1\in\text{Sp}(A)}. Résoudre {Ax=x-b} d’inconnue {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.

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