Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
On considère l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.

  1. Résoudre {(E)} sur les intervalles {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
  2. Montrer que {(E)} admet une unique solution sur {]-\infty ,1[}. Montrer que cette solution est de classe {\mathcal{C}^{\infty}}.

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