Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u} l’endomorphisme de {\mathbb{R}[X]} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.

  1. Montrer que {u} induit un endomorphisme {\widetilde{u}} sur {\mathbb{R}_{n}[X]}.
  2. Résoudre sur {]-1,1[} l’équation différentielle {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}.
  3. En déduire une réduction de {\widetilde{u}}. Calculer {\text{rg}(\widetilde{u})} et {\det (\widetilde{u})}.

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