Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On dit qu’une suite {(X_{n})} de v.a.r. converge en probabilité (CP) vers {X} si : {\forall\,\varepsilon >0,\;\lim\limits_{n\to +\infty}\mathbb{P}(|X_{n}-X|\geq \varepsilon )=0}

  1. On suppose les {X_{n}} indépendantes, de même espérance, de même variance.
    Montrer que {M_{n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}X_{k}} est CP vers une variable constante.
  2. On suppose que {E(X_{n})\rightarrow E(X)} et que {V(X_{n}-X)\rightarrow 0}.
    Montrer que {(X_{n})} converge en probabilité vers {X}.
  3. Soit {(S_{n})} une suite de v.a.r. indépendantes telles que {S_{n}\leadsto\mathcal{B}(n,p)}.
    Calculer l’espérance et la variance de {X_{n}=\exp (S_{n}/n)}.
    La suite {(X_{n})} est-elle convergente en probabilité?

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