Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Soit {y:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} de classe {\mathcal{C}^{1}}.
    Soit {\varphi:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{+}} continue.
    Soit {c\in\mathbb{R}} tel que :
    {\forall x\in[a,b],\;y(x)\leq c+\displaystyle\int_{a}^{x}\varphi (t)y(t)\,\text{d}t}
    Montrer que :
    {\forall\,x\ge0,\;y(x)\leq c\exp \left(\displaystyle\int_{a}^{x}\varphi (t)\,\text{d}t\right)}
  2. Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
    Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
    Montrer que {f} est bornée.

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