Une série réellement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n\!+\!1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k\!+\!1}}
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