Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit une suite {(B_{n})_{n\ge0}} de polynômes (suite d’Appell) vérifiant : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

  1. Montrer que : {B_{n}(x+y)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}B_{k}(y)x^{n-k}}.
  2. Soit {(B_{n})_{n\ge0}} la suite d’Appell telle que : {\forall n\in\mathbb{N}^{*},\;\displaystyle\int_{0}^{1}B_{n}(t)\,\text{d}t=0}.

    • Calculer {B_k(1)-B_k(0)} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

      En déduire l’identité {B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}.

    • Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\text{d}t=x^{n}}.
    • Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on note {b_{n}=B_{n}(0)}.

      Montrer que, pour tous {n,p} dans {\mathbb{N}^{*}} : {\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}k^{n}=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}b_{n+1-k}\,p^{k}}

    • On donne {b_{0}=1,\;b_{1}=-\dfrac{1}{2},\;b_{2}=\dfrac{1}{6},\;b_{3}=0}.

      Retrouver l’expression de la somme des cubes des entiers.

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