Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
Soit {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} convergente (avec les {\lambda_{n}\gt0}).

Soit {(X_{n}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_n))_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes.

  1. Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\mathbb{P}(X_{n}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0)} converge.
  2. Interpréter {A=\displaystyle\bigcap\limits_{n\ge1}\,\displaystyle\bigcup\limits_{k\geq n}\{X_{k}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0\}}.
    Montrer que {\mathbb{P}(A)=0}.
  3. Montrer que la série {\displaystyle\sum{X_{n}}} est presque sûrement convergente.
  4. Soit {Y,Z} deux variables à valeurs dans {\mathbb{N}}.
    Montrer que, pour tout {t\in[0,1]} : {|G_{Y}(t)-G_{Z}(t)|\leq 2\,\mathbb{P}(Y\;{=}\mathllap{\;/\,}\,Z)}
  5. Montrer que {S=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}X_{n}\leadsto\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}.

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