Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
Soit {(\lambda_{n})_{n\geq 1}} une suite de réels positifs telle que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} converge.

Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} une suite de v.a.r. indépendantes où : {\forall\, n\ge1,\;X_n\leadsto\mathcal{P}(\lambda_n)}.

  1. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\mathbb{P}(X_{n}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0)} converge.
  2. Interpréter {A=\bigcap\limits_{n\ge1}\,\displaystyle\bigcup\limits_{k\geq n}\{X_{k}\;{=}\mathllap{\;/\,}\, 0\}}. Montrer que {\mathbb{P}(A)=0}.
  3. Montrer que la série {\displaystyle\sum{X_{n}}} est presque sûrement convergente.
  4. Soit {Y,Z} deux variables à valeurs dans {\mathbb{N}}.
    Montrer que: {\forall\,t\in[0,1],\;|G_{Y}(t)-G_{Z}(t)|\leq 2\,\mathbb{P}(Y\;{=}\mathllap{\;/\,}\,Z)} .
  5. Montrer que {S=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}X_{n}} est une v.a.r. et que {S\leadsto\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}.

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