Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.

On dit que {P\in\mathbb{C}[X]} stabilise {\mathbb{U}} si {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}}.

Si {P=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}} est de degré {n}, on note {P^{*}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\overline{a_{n-k}}X^{k}}.

  1. Montrer que, pour tout {z\in\mathbb{C}^{*}}, {P^{*}(z)=z^{n}\overline{P(\overline{z}^{\,-1})}}.
  2. Montrer que {P} stabilise {\mathbb{U}} si et seulement si {P=aX^{n}}{a\in\mathbb{U}}.

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