Parité des solutions d'une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
On considère

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

où

{a,b}

sont continues de

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

Soit ${\mathcal{S}(E)}$ l’ensemble des solutions sur ${\mathbb{R}}$ .

Soient ${f,g}$ dans ${\mathcal{S}(E)}$ .
Que dire de la fonction ${W=fg'-f'g}$ ?
On suppose ${a}$ impaire et ${b}$ paire.

Soient ${f,g\in\mathcal{S}(E)}$ définies par ${\begin{cases}f(0)=1\\f'(0)=0\end{cases}\;\text{et}\;\begin{cases}g(0)=0\\g'(0)=1\end{cases}}$

Montrer que ${f}$ est paire et que ${g}$ est impaire.

En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de ${(E)}$ formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de ${(E)}$ constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que ${a}$ est impaire et ${b}$ paire.

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