Parité des solutions d'une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
On considère

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

où

{a,b}

sont continues de

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

Soit ${\mathcal{S}(E)}$ l’ensemble des solutions de ${(E)}$ sur ${\mathbb{R}}$ .

Pour ${f,g}$ ${\mathcal{S}(E)}$ , que dire de ${W=fg'-f'g}$ .
On suppose ${a}$ impaire et ${b}$ paire.

Montrer que ${f\in\mathcal{S}(E)}$ définie par ${\begin{cases}f(0)=1\\f'(0)=0\end{cases}}$ est paire.

Montrer que ${g\in\mathcal{S}(E)}$ définie par ${\begin{cases}g(0)=1\\g'(0)=0\end{cases}}$ est impaire.

En déduire qu’il existe une base de l’espace des solutions de ${(E)}$ formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
On suppose qu’il existe une base de l’espace des solutions de ${(E)}$ constituée d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Montrer que ${a}$ est impaire et ${b}$ paire.

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