Moyenne des itérés de u quand um = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} un {\mathbb{C}}-ev ({\dim E=n\geq 1}) et {u\in\mathcal{L}(E)}.

  1. Montrer que si {u} est un projecteur, alors {\text{rg}\,u=\text{tr}(u)}. Réciproque ?
  2. On suppose : {\exists\,m\in\mathbb{N}^{\star},\;u^{m}=\text{Id}}.
    On pose {p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1}u^k}.
    Montrer que {p^2=p} et : {\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})=\dim \text{Ker}\,(u-\text{Id})}

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