Inégalité PP” ≤ (P’)² si P est réel scindé

(Oral Mines-Ponts 2018)

    Dans tout l’exercice, on se donne {P\in\mathbb{R}[X]} scindé sur {\mathbb{R}}.

  1. Montrer que {P'} est scindé sur {\mathbb{R}}.
  2. Montrer que les racines multiples de {P'} sont aussi racines multiples de {P}.
  3. Déterminer le signe de la quantité {P(x)P''(x)-P'(x)^{2}} pour tout {x\in\mathbb{R}}.

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