Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}} et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.

  1. Préciser la limite de {(a_{n})}. Déterminer le rayon de {f}.
  2. Trouver {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-x}f(x)} en {+\infty}. En déduire un équivalent de {f}.

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