Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Soit {P\in\mathbb{R}[X] } unitaire de degré {n}.
    Montrer que {P} est scindé sur {\mathbb{R}} si et seulement si: {\forall\,z\in\mathbb{C},\;|P(z)|\geq |\text{Im}\,z|^{n}}.
  2. Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est l’ensemble des matrices trigonalisables.

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