Une équations différentielle

(Oral Centrale Mp)
On considère l’équation différentielle: {(1-x)^3y''(x)=y(x)}.

Soit {y} la solution de {(E)} sur {]-\infty,1[} telle que {\begin{cases}y(0)=0\\y'(0)=1\end{cases}}

On pose : {\forall\, n \in \mathbb{N},\;a_n=\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}}.

  1. Justifier les définitions de {y(x)} et des {a_{n}}.

    Montrer que, pour tout {n\ge3} : {\begin{array}{rl}n(n-1)a_n&=3(n-1)(n-2)a_{n-1}\\\\& - (3n^2-15n+17)a_{n-2}\\\\&+(n-3)(n-4)a_{n-3}\end{array}}

  2. Déterminer {\alpha>0} tel que : {\forall\, n \in \mathbb{N},\;|a_n| \leq \alpha^n}.

    Que peut-on en déduire pour la solution {x\mapsto y(x)}?

  3. Montrer que: {\forall\, x \in [0,1[,\;y(x) \geq x + \displaystyle\int_0^x \dfrac{t(x-t)}{(1-t)^3}\,\text{d}t}.

    En déduire la limite de {y(x)} quand {x} tend vers 1.

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