Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Dans tout l’énoncé, {n} désigne un entier naturel fixé.

Pour tout {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}}, soit {P_{a}\in\mathbb{R}_{n}[X]} défini par : {\forall\, k\in[[ 0,n]],\;P(k)=a_{k}}On note {\mathbb{Z}[X]} l’ensemble des polynômes à coefficients dans {\mathbb{Z}}.

La suite de l’exercice répond à la question suivante:

Soit {a=(a_{0},a_{2},\ldots,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n+1}}: à quelle condition {P_{a}} est-il dans {\mathbb{Z}[X]}?

On note {\mathcal{A}_{n+1}} l’ensemble des {a\in\mathbb{Z}^{n+1}} qui ont cette propriété.

On considèrera des matrices carrées d’ordre {n+1}.

Le terme général d’une telle matrice {M} est noté {m_{i,j}}, avec {i,j} dans {[[ 0,n]]}.

Pour {i\in[[ 0,n]]}, soit {L_{i}(X)=\displaystyle\prod_{{k=0\atop k\ne i}}^{n}\dfrac{X-k}{i-k}} et {H_{i}=\displaystyle\prod_{k=0}^{i-1}(X-k)}.

Soit {T\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}, triangulaire supérieure, avec {t_{i,j}=\displaystyle\binom{j}{i}} si {j\ge i}.

  1. Montrer que {U=T^{-1}} a pour coefficients :{u_{i,j}=(-1)^{j-i}t_{i,j}\;\text{si}\;j\ge i,\ \text{et}\ u_{i,j}=0\;\text{si}\;j\lt i}
    • Écrire la matrice de passage {B} de {(L_{i})_{0\le i\le n}} à {(H_{j})_{0\le j\le n}}.
    • Déterminer {\Delta} diagonale telle que {B=T^{\top}\,\Delta}.
    • Montrer que {C=B^{-1}} est triangulaire inférieure,.

      Montrer que {c_{i,j}=\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}} si {0\le j\le i}.

  2. Soit {a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n+1}}.
    On définit {b=(b_{0},b_{1},\ldots,b_{n})} par : {b_{i}=\displaystyle\sum_{j=0}^{i}\dfrac{(-1)^{i-j}}{j!\,(i-j)!}\,a_{j}}
    Déduire de ce qui précède : {a\in\mathcal{A}_{n+1}\iff b\in\mathbb{Z}^{n+1}}.

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