Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
On pose {F_1=1}, {F_2=2} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}.

On pose {P_0=1} et : {\forall\, n \in \mathbb{N}^*,\;P_n(X)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-X^{F_k})}.

Dans tout l’exercice, on identifiera polynôme et fonction polynomiale.

    • Calculer {P_1,P_2,P_3,P_4}. Que conjecturer sur les coefficients de {P_{n}}?

    • Montrer que les coefficients de {P_n} sont bornés par {2^n}.
    • Établir que {X^{n+1}} divise {P_{n+1}-P_n}.
  1. Montrer que {(P_n)_{n\ge0}} converge uniformément sur tout segment de {]-1,1[}.

  2. On note {f} la fonction limite de la suite {(P_{n})_{n\ge0}}.

    On note {a_n} le coefficient de {X^n} dans {P_n}.

    Montrer que : {\forall\, x \in \Big]-\dfrac 12, \dfrac 12\Big[,\;f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n}.

    Comment améliorer ce résultat, en admettant que la conjecture de {(1)} est vraie?

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