Intégrabilité de 1/(1+et |sin t|) sur ℝ+

(Oral Centrale Mp)
On pose pour {x \in\, \big]-\text{e}^{-\pi/2},+\infty\big[}, {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\,\text{d}t}{1+x \,\text{e}^t \sin(t)}}}.

  1. Justifier cette définition. Montrer que {f} est {{\mathcal C}^{\infty}}, décroissante, convexe.

  2. Montrer que {f(x)\underset{+\infty}{=}g(x)+ \text{O}\Bigl(\dfrac 1x\Bigr)}, où {g(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{\,\text{d}t}{1+xt}}}.

    En déduire un équivalent de {f(x)} en {+\infty}.

  3. Soit {\varphi(t)=\dfrac 1{1+\text{e}^t |\sin t|}}. Montrer que : {\displaystyle\int_{n \pi}^{(n+1)\pi}\!\!\! \varphi(t) \,\text{d}t \leq 2 \int_{n \pi}^{n\pi+\pi/2}\!\!\!\!\!\varphi(t) \,\text{d}t}

    En déduire que {\varphi} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.

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