Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
On pose {f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}.

  1. Étudier la définition, la continuité, et la dérivabilité de {f}.
  2. Montrer que : {\forall\, x\ge0,\;f(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u}.
    Donner un équivalent de {f} en {0}.
  3. Donner deux méthodes de calcul de {I=\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\ln(u)}{u^2-1}\,\text{d}u}.

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