Développement d’Euler de cotan(π x)

(Oral Centrale Mp)
Sur {\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}}, on pose {S_{N}(x)=\displaystyle\displaystyle\sum_{n=-N}^{n=N}\dfrac{1}{x+n}}

Pour {N\ge1} on a bien sûr {S_{N}(x)=\dfrac{1}{x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{N}u_{n}(x)}, où {u_{n}(x)=\dfrac{2x}{x^2-n^2}}.

    • Montrer que la suite {(S_{N})_{N\ge0}} est simplement convergente sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

      On note {S} la fonction limite, qui est donc définie sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}(x)} est normalement convergente sur tout borné de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.
    • Montrer que {S} est continue , impaire et {1}-périodique.
    • Montrer que, pour tout {x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} et tout {N\in\mathbb{N}} : {S_{N}\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+S_{N}\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)=2S_{2N}(x)+\dfrac{2}{x+2N+1}}
    • En déduire que : {\forall x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z},\;S\Bigl(\dfrac{x}{2}\Bigr)+S\Bigl(\dfrac{x+1}{2}\Bigr)=2S(x)}.
  1. On rappelle que la fonction {\text{cotan}} est définie sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} par {\text{cotan} x=\dfrac{\cos x}{\sin x}}.

    On pose {f(x)=\pi\text{cotan}(\pi x)-S(x)}, pour tout {x} de {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}.

    • Vérifier que {f} possède les propriétés de {S} évoquées dans la question (1c).

      Montrer que {f} satisfait à l’égalité fonctionnelle vue dans la question (2b).

    • Montrer que {f} est prolongeable par continuité en {0}, puis sur {\mathbb{R}} tout entier.

      On note encore {f} ce prolongement sur {\mathbb{R}}.

    • Justifier l’existence d’un réel {a} de {]0,1[} tel que {f(a)=M=\max\limits_{x\in\mathbb{R}}\left|{f(x)}\right|}.
    • Montrer que {f\Bigl(\dfrac{a}{2}\Bigr)=M}.

    • En déduire que {f} est identiquement nulle sur {\mathbb{R}}.
  2. Conclusion de l’exercice?

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