Dérivée n-ième de f(x)=1/(1+e^x)

(Oral Centrale Mp)
Si {0\le j\le k}, {\dbinom{k}{j}} est le coefficient binomial “{j} parmi {k}“.

On étend cette définition aux autres couples {(j,k)\in\mathbb{Z}^{2}} par {\dbinom{k}{j}=0}.

Pour {(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{Z}}, on pose {a_{n,k}=\displaystyle\sum_{j=0}^{k}(-1)^{n+j}\dbinom{k}{j}(j\!+\!1)^{n}}.
On convient que {a_{n,k}=0} si {k\lt 0}.

  1. Vérifier l’égalité {(k\!+\!1)\dbinom{k}{j}-k\dbinom{k\!-\!1}{j}=(j\!+\!1)\dbinom{k}{j}}.

    Prouver la relation {(R):\ a_{n+1,k}=k\,a_{n,k-1}-(k\!+\!1)\,a_{n,k}}.

  2. Pour {n\in\mathbb{N}}, montrer que : {a_{n,0}=(-1)^{n},\ a_{n,k}=0\;\text{si}\;k\ge n+1,\ \text{et}\;a_{n,n}=n!}
  3. Pour tout réel {x}, on pose {f(x)=\dfrac{1}{\text{e}^{x}+1}}.

    Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;\forall x\in\mathbb{R},\;f^{(n)}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n,k}\,f^{k+1}(x)}
    ({f^{(n)}} est la dérivée {n}-ième de {f}, mais {f^{k+1}} est une puissance de {f}).

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