Convergence cubique d’un produit infini

(Oral Centrale Mp)
On pose {f(x)=\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}}, et {g(x)=4x^{3}+6x^{2}-\dfrac{3}{2}}.

Pour {x>\dfrac{1}{2}}, on pose {u_{1}(x)=x} et : {\forall\, k\ge0,u_{k+1}(x)=g(u_{k}(x))}.
On pose également : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;P_{n}(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}.

On va montrer : {\forall\, x>\dfrac{1}{2},\;f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P_{n}(x)}, et étudier la convergence.

  1. Dans cette question, on démontre la convergence de la suite {(P_{n})} vers {f}.

    • Soit {x>\dfrac{1}{2}} fixé, et l’équation {(E_{x}): f(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)f(y)}, d’inconnue {y}.

      Montrer que l’unique solution de {(E_{x})} sur {\Big]\dfrac{1}{2},+\infty\Big[} est {y=g(x)}.

    • Pour {x>\dfrac{1}{2}}, montrer que {k\mapsto u_{k}(x)} croît strictement vers {+\infty}.

    • Prouver {\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_{n}(x)=f(x)}. Ainsi : {\forall\, x>\dfrac{1}{2},\;\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}=\displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}
  2. On va étudier la qualité de la convergence de la suite {P_{n}} vers {f}.

    • Montrer qu’on a l’équivalent {f(x)-P_{n}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{f(x)}{u_{n+1}(x)}}.
    • En déduire {f(x)-P_{n+1}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{4f^{2}(x)}(f(x)-P_{n}(x))^{3}}. Commentaire?

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