Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
On appelle sous-algèbre de {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} tout sous-espace de {{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, stable pour le produit, ne contenant pas nécessairement {I_{n}}. De même, une sous-algèbre de {{\mathcal L}(E)} est un sous-espace de {{\mathcal L}(E)}, stable pour la loi {\circ}, ne contenant pas nécessairement {\text{Id}_{E}}.

  1. On pose {M(a,b)=\begin{pmatrix} -6a+3b & 12a & -18a+6b \\ a & -2a & 3a \\ 3a-b & -6a & 9a-2b \end{pmatrix}}.

    Soit {{\mathcal A}=\{M(a,b),\;(a,b) \in \mathbb{R}^2\}}.

    • On note {A=M(1,0)} et {B=M(0,1)}.
      Montrer que {{\mathcal A}} est une sous-algèbre commutative de {{\mathcal M}_3(\mathbb{R})}.
    • Montrer que toutes les matrices de {\mathcal{A}} sont diagonalisables sur {\mathbb{R}}.
  2. Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie et {u \in {\mathcal L}(E)}.
    On pose {g\colon {\mathcal L}(E)\to {\mathcal L}(E),\;v\mapsto u v}.
    Montrer que si {u} est diagonalisable alors {g} l’est aussi.
    On admet qu’il en est de même pour {\theta\colon {\mathcal L}(E)\to {\mathcal L}(E),\;v\mapsto u v - v u}.
  3. Soit {{\mathcal A}} une sous-algèbre de {{\mathcal L}(E)} dont tous les éléments sont diagonalisables.

    • Soit {u \in {\mathcal A}}. Montrer que {\theta_{u}\colon {\mathcal A}\to{\mathcal A},\;v\mapsto u v - v u} est diagonalisable.
    • Soit {v} un vecteur propre de {\theta_u} associé à {\lambda}.
      Montrer que : {\forall\, k \in \mathbb{N}, \; \theta_u(v^k)=k \lambda v^k}.
      En déduire que le produit sur {{\mathcal A}} est commutatif.

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