Suite presque toujours périodique

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Soit {a} un nombre réel strictement supérieur à {1}.

On définit une suite (u_n)_{n\ge 1}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}, de la manière suivante :

On pose {u_{1}=2} et : {\forall n\ge 1,\;u_{n+1}=2-\dfrac{a}{u_{n}}}. Plus précisément:

  • S’il existe un entier {n} tel que {u_{n}=0}, on pose {u_{n+1}=\infty}.
  • S’il existe un entier {n} tel que {u_{n}=\infty}, on pose {u_{n+1}=2}.
    Puisque {u_{1}=2}, on peut donc compléter la définition avec{u_{0}=\infty}.

La suite {(u_{n})_{n\ge1}} est donc bien définie, et à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}.

On va étudier sa périodicité éventuelle, en fonction du paramètre {a}.

  1. Vérifier que la suite {(u_{n})_{n\ge1}} n’a pas de limite.
  2. Puisque {a>1}, on peut poser {a=1+\tan^2\,\theta}, avec {0\lt \,\theta\lt \dfrac\pi2}.
    Montrer que {u_{n}(a)=1+\dfrac{\tan\,\theta}{\tan n\,\theta}} (avec {u_{n}=\infty} si {n\,\theta\equiv0\;[\pi]}).
  3. On note {\mathscr{P}} l’ensemble des {a>1} pour lesquelles {(u_{n})_{n\ge1}} est périodique.
    Montrer que {\mathscr{P}=\Bigl\{1+\tan^2(r\pi),\;r\in\mathbb{Q},\;0\lt r\lt \dfrac12\Bigr\}}.
    En déduire que {\mathscr{P}} est dense dans {[1,+\infty[}.
  4. Déterminer les {a} pour lesquelles {(u_{n})_{n\ge1}} est \emph{exactement} de période {12}.
  5. On suppose {0\lt a\lt 1} (on garde le reste de la définition de {u}).
    Reprendre l’étude de la suite {(u_{n})_{n\ge1}}.

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