Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Soit {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f}{f(x)=\dfrac{\ln(x)\ln^2(1\!-\!x)}{x}}

On rappelle {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}} et {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}}.

On note {u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^2}}.

  1. Montrer que {f} est intégrable sur {]0,1[}.
  2. Soit {\varphi(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\ln(1-t)}{t}\,\text{d}t}.

    Développer {\varphi} en série sur {[-1,1]}.

    • Montrer que :{J=-\dfrac12\varphi^{2}(1)+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\varphi(x)\ln(x)}{1-x}\,\text{d}x}
    • Prouver l’égalité :{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\varphi(x)\ln(x)}{1-x}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}}
    • Pour tout {m\ge 2}, vérifier que :{\displaystyle\sum_{n=1}^{m-1}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}=\displaystyle\sum_{1\le k\lt n\le m}\dfrac{1}{(k\,n)^2}}En déduire la valeur de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{(n+1)^{2}}}

      Donner finalement la valeur de {J}.

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