Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Dans tout le problème, {n} est un entier naturel donné.

On munit {\mathbb{R}_n[X]} du produit scalaire : {(A\mid B)=\displaystyle\int_0^1A(x)\,B(x)\,\text{d}x}.
Pour tous {P\in\mathbb{R}_n[X]} et {x\in\mathbb{R}}, on pose : {u_{n}(P)(x)=\displaystyle\int _0^1(x+t)^nP(t)\,\text{d}t}

  1. Montrer que {u_{n}} est un isomorphisme symétrique de {\mathbb{R}_n[X]}

  2. Soit {\lambda_{0},\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}} les valeurs propres de {u_{n}}.

    Soit {(P_0,\ldots ,P_n)} une b.o.n. de diagonalisation de {u_{n}} ({P_i} correspond à {\lambda_i}).

    Avec {Q_{t}=(X+t)^{n}}, montrer que : {Q_{t}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_k P_k(t)P_k}.
    En déduire que {\text{tr}(u_{n})=\dfrac{2^n}{n+1}}.

    Comment aurait-on pu obtenir directement ce résultat~?

  3. Montrer que {\text{tr}(u_{n}^2)=\displaystyle\int _0^1\|Q_t\|^2\,\text{d}t=\dfrac{2^{2n+1}-1}{(n+1)(2n+1)}}.

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