Un algorithme de Lehmer

(Exercice d’oral Centrale Mp)

  1. Dans cette question, {z=a+ib\in\mathbb{C}} est donné, avec {a\in\mathbb{R}} et {b\in\mathbb{R}^{*}}.

    • Exprimer l’argument de {z} (modulo {\pi}) en fonction de {\text{arctan}\,\dfrac{b}{a}} si {a\ne0}.
      Préciser le cas {a=0}.
    • On pose {\varphi(z)=(-n+i)z}, où {n} est la partie entière de {\dfrac{a}{b}}.

      Montrer que si {b>0} alors {0\le \text{Im}\,\varphi(z)\lt b}.

      Montrer que si {b\lt 0} alors {b\lt \text{Im}\,\varphi(z)\le 0}.

  2. Dans cette question, {a} et {b} sont donnés dans {\mathbb{Z}^{*}}.

    On définit une suite {(z_{k})}, par {z_{0}=a+ib}, de la façon suivante :

    Si {z_{k}} est connu et si {\text{Im}\, z_{k}\ne 0}, on pose {z_{k+1}=\varphi(z_{k})} (voir 1.b).

    • Montrer que la suite {(z_{k})} est finie.

      Il existe donc un plus petit {p\ge1} tel que {\text{Im}\, z_{p}=0}.

    • En déduire l’existence d’entiers {n_{0},\ldots,n_{p-1}} tels que : {\text{arctan}\,\dfrac{b}{a}\equiv\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\text{arctan}\,\dfrac{1}{n_{k}}\ \mod{\pi}}NB: si {n_{k}=0}, on convient que {\text{arctan}\,\dfrac{1}{n_{k}}\equiv\dfrac\pi2\ \mod{\pi}}.

    • Effectuer les calculs pour {z=20+3i}.

      En déduire : {\text{arctan}\,\dfrac{3}{20}=\text{arctan}\,\dfrac{1}{6}-\text{arctan}\,\dfrac{1}{62}-\text{arctan}\,\dfrac{1}{7628}}

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