Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale Mp)
Pour tout {x\in\mathbb{R}^{+*}}, on note {(u_n(x))_{n \in \mathbb{N}}} la suite définie par : {u_0(x)=x\;\text{et}\;\forall\, n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}(x)=u_n^2(x)+u_n(x)}Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose alors {v_n(x)=\dfrac{\ln(u_n(x))}{2^n}}.

  1. Montrer que {(u_n(x))_{n\ge0}} est strictement croissante et tend vers {+\infty}.
    Préciser les valeurs de {u_{0}(x)}, {u_{1}(x)}, et {u_{2}(x)}.
  2. Montrer que {\displaystyle\sum_{n \geq 0} \left( v_{n+1}(x) - v_n(x) \right)} converge, puis que : {\exists\,\alpha(x)\in\mathbb{R},\;\alpha(x) - v_n(x) =\text{o}\left( \dfrac 1{2^n} \right)}En déduire un équivalent de {u_n(x)} quand {n\to+\infty}
  3. Montrer que la fonction {x\mapsto\alpha(x)} est continue sur {\mathbb{R}^{*}}.
    Donner un développement de {\alpha(x)} en {+\infty} à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{x^{4}}\Bigr)}.

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