Résolution d’un système tridiagonal

(Oral Centrale Mp)
Soit {\alpha=(\alpha_{n})_{n\ge1}} une suite de réels.
Pour {n\ge1}, soit {A_{n}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}&-1&0&\ldots& 0\cr -1&\alpha_{2}&-1&\ddots&\vdots\cr0&\ddots&\ddots&\ddots&0\cr\vdots&\ddots&-1&\alpha_{n-1}&-1\cr0&\ldots&0&-1&\alpha_{n}\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
Soit {\Delta_{n}=\det(A_{n})}.

  1. Pour {n\ge3}, exprimer {\Delta_{n}} en fonction de {\Delta_{n-1}} et {\Delta_{n-2}}.
  2. Dans cette question, on suppose : {\forall\, k\ge1,\;\alpha_{k}\ge 2}.

    • Montrer que : {\forall\, n\ge1,\;\Delta_{n}\ge n+1}.
    • Calculer {\Delta_{n}} si tous les {\alpha_{k}} sont égaux à {2}.
    • Calculer {\Delta_{n}} si les {\alpha_{k}} sont égaux à {\mu>2}. On posera {\mu=\text{ch}(\theta)}.
  3. Dans cette question, {n} est un entier fixé ({n\ge2}).

    On suppose que les {\alpha_{k}} sont tous supérieurs ou égaux à {2}.

    Soit {(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})\in\mathbb{R}^n} et le système {(S_{n}):\ A_{n}\begin{pmatrix}x_{1}\cr x_{2}\cr\vdots\cr x_{n}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\beta_{1}\cr\beta_{2}\cr\vdots\cr \beta_{n}\end{pmatrix}}

    On va décrire un algorithme de résolution de {(S_{n})}.

    • Montrer qu’on définit {n} réels {\delta_1,\delta_2,\ldots,\delta_n} de {]\,0,1]} en posant : {\delta_1=\dfrac1{\alpha_1}\quad\text{et}\quad\forall\, k\in\{2,\ldots,n\},\;\delta_{k}=\dfrac{1}{\alpha_{k}-\delta_{k-1}}}
    • On pose {\omega_1=\beta_1\,\delta_1}, et : {\forall\, k\in\{2,\ldots,n\},\;\omega_{k}=(\beta_{k}+\omega_{k-1})\delta_{k}}.

      Montrer que la solution unique {(x_{1},\ldots,x_{n})} de {(S_{n})} est donnée par : {x_n=\omega_n\quad\text{et}\quad\forall\, k\in\{1,\ldots,n-1\},\;x_k=\omega_k+\delta_k\,x_{k+1}}

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