Réduction d’une matrice en ᒧ

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Soit {n\in\mathbb{N}}, avec n\ge 2. Soient {a_1,\cdots,a_n} dans {\mathbb{C}^{*}} et {\alpha \in \mathbb{C}}.

On pose {A=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_1 \\ \vdots & & & \vdots & a_2 \\ \vdots & & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_n \\ a_1 & a_2& \cdots & a_n & \alpha \end{pmatrix}} et {\beta=a_1^2+\cdots+a_n^2}

  1. Montrer que {A^{3}=\alpha A^{2}+\beta A}.
  2. On pose {\Delta=\alpha^{2}+4\beta}.
    Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\beta \neq 0} et {\Delta \neq 0}.
    Si tel est le cas, à quelle matrice diagonale {A} est-elle semblable?
  3. À quelles conditions la suite des puissances de {A} converge-t-elle?
    Lorsque c’est le cas, quelle est la limite de cette suite ?

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