Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Soit {\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)}, canoniquement associée à {A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\cr -1&-2&1&-2\cr 2&6&-1&4\cr 4&8&-4&7\end{pmatrix}}.

  1. Donner une base de {\mathbb{R}^4} où la matrice de {\varphi} est {T=\begin{pmatrix}1&1&0&0\cr 0&1&1&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\end{pmatrix}}

  2. Déterminer les suites {(\alpha_{n})_{n\in\mathbb{N}}}, {(\beta_{n})_{n\in\mathbb{N}}} et {(\gamma_{n})_{n\in\mathbb{N}}} telles que :{\forall\,n\in\mathbb{N},\;A^n=\alpha_{n}A^2+\beta_{n}A+\gamma_{n}I_{4}}
  3. Pour tout {x} réel, soit {B(x)} obtenue en remplaçant {n} par {x} dans l’écriture de {A^{n}} trouvée à la question précédente (donc {B(n)=A^n} pour tout {n\in\mathbb{N}}).

    • Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {B(-n)=A^{-n}}.
    • En considérant le développement limité de {\sqrt[n]{1+x}} en {x=0}, à l’ordre {2}, montrer comment former une matrice {C} telle que {C^n=A}.
      Vérifier que {C=B(1/n)} (avec les notations précédentes).

    • Former {M} telle que {e^{M}=A}, où {\text{e}^{M}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}M^k}.

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