Méthode du gradient à pas constant

(Oral Centrale Mp)
Soit {A\!\in\!\mathcal{M}_N(\mathbb{R})} symétrique et {\text{Sp}(A)\!\subset\!\mathbb{R}^{+*}}.

Soit {0 \lt \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_N} ses valeurs propres.

Soit {b\in\mathbb{R}^N}. On recherche une approximation de {v\in\mathbb{R}^{N}} tel que {Av=b}.

On munit {\mathbb{R}^N} de sa norme euclidienne.

On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de la norme définie par : {\left\|M\right\|=\sup\limits_{x\ne0}\dfrac{\left\|{Mx}\right\|}{\left\|{x}\right\|}}Soit {\rho\in\mathbb{R}^{+*}}. Soit {u_0 \in \mathbb{R}^N } et : {\forall\, n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=u_n- \rho (A u_n- b) \quad (\star)}

  1. Si {(u_n)} converge, que dire de sa limite ?
  2. Montrer : {\| u_{n+1}-v \| \leq K \| u_n-v \|}, où :{K=\max (|1\!-\!\rho \lambda_1|, |\rho \lambda_N\!-\!1|)}Quelle est la valeur de {\rho} qui réalise le plus petit coefficient {K\lt 1}?
  3. On note, pour tout {x} de {\mathbb{R}^N}: {f(x)=\dfrac{1}{2}\left({Ax}\mid{x}\right)-\left({b}\mid{x}\right)}Montrer que {f} a un minimum global sur {\mathbb{R}^N}, atteint en {v}. Interpréter la relation {(\star)} et le comportement de la suite {(u_n)}.

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