Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)

  1. Soient {a,b,c \in \mathbb{C}}. On pose {M=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}}.
    Les matrices {M} et {N} sont-elles semblables ?
    Si c’est le cas, donner {P\in \text{GL}_2(\mathbb{C})} telle que {PMP^{-1}=N}.
  2. Soient {A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} et {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\;N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
    Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

    • a) les matrices {M} et {N} sont semblables.
    • b) il existe {X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})} telle que {AX=B}.
    • c) {\text{rg}(A \mid B)=\text{rg}(A)}{(A\mid B)} est obtenue en juxtaposant {A} et {B}.
  3. On pose {A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ a & 7 & 2 \end{pmatrix}}.
    Les matrices {M=\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} et {N=\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} sont-elles semblables?

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